《数学分析》考试大纲

一、考试科目名称:《数学分析》

二、考试形式:笔试、闭卷

三、考试时长:90分钟

四、试卷分值:满分150分。

五、题型范围:无选择题，无判断题，其他题型不限

六、参考教材:《数学分析》(上册)，华东师范大学数学科学学院.(第五版)上册[M].北京:高等教育出版社,2019。

七、考试的基本要求:本课程主要是考核考生是否理解和掌握数学分析中的实数集与函数、数列与函数极限、函数连续性、一元函数微分学、一元函数积分学基本概念和基本理论;理解或掌握上述各部分的基本方法:考生应理解各部分知识结构及知识的内在联系;考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力;能运用所学知识准确地计算、正确地推理和证明:能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决简单的实际问题。

八、考试范围:

第一章实数集与函数

考试内容:

1.实数

1.1实数及其性质

1.2绝对值与不等

2.数集与确界原理

2.1区间与邻域

2.2有界集与确界原理

3.函数概念

3.1函数的定义3.2函数的表示法3.3函数的四则运算

3.4复合函数3.5反函数

3.6初等函数

4.具有某些特性的函数

4.2有界函数4.2单调函数 4.3奇函数与偶函数4.4周期函数

基本要求:

熟练掌握实数域及性质;掌握绝对值不等式;掌握邻域、上确界、下确界概念以及确界原理;牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。

第二章数列极限

考试内容:

1.数列极限概念

2.收敛数列的性质

3.收敛数列存在的条件

基本要求:

理解数列极限的定义:理解收敛数列的若干性质:熟练掌握几种求数列极限的方法:掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西准则

第三章函数极限

考试内容:

1.函数极限的概念

2.函数极限的性质

3.函数极限存在的条件

4.两个重要的极限

5.无穷小量与无穷大量

5.1无穷小量5.2无穷小量阶的比较5.3无穷大量

5.4曲线的渐近线

基本要求:

熟练掌握函数极限的概念;掌握函数极限的若干性质;掌握函数极限存在的条件;熟练应用两个重要的极限;掌握无穷小量与无穷大量的定义、性质和阶的比较。

第四章函数的连续性

考试内容:

1.连续性的概念

1.1函数在一点的连续性1.2间断点及其分类1.3 闭区间上的连续函数

2.连续函数的性质

2.2闭区间上连续函数的基本性质2.1连续函数的局部性质

2.3反函数的连续性

2.4一致连续性

3.初等函数的连续性

3.1指数函数的连续性3.2初等函数的连续性

基本要求:

熟练掌握函数在一点连续的定义和等价定义;熟练掌握间断点及间断点的分类;熟练掌握函数在一点连续的性质及其在区间上连续性质;熟练掌握初等函数的连续性

第五章导数和微分

考试内容:

1.导数的概念

1.1导数的定义1.2导函数1.3导数的几何意义

2.求导法则

2.1导数的四则运算2.2反函数的导数2.3复合函数的导数

2.4基本求导法则与公式

3.参变量函数的导数

4.高阶导数

5.微分

5.1微分的概念5.2微分的运算法则5.3高阶微分

5.4微分在近似计算中的应用

基本要求:

熟练掌握导数的定义:熟练掌握求导法则和求导公式:会求各类函数(复合函数、参变量函数、隐函数、幂指函数)的导数和部分函数的高阶导数(莱布尼茨公式);掌握微分的概念:了解一元函数连续、可导、可微之间的关系。

第六章微分中值定理及应用

考试内容:

1.拉格朗日中值定理和函数的单调性

1.1罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1.2单调函数

2.柯西中值定理和不定式极限

2.1柯西中值定理

2.2不定式极限

3.函数的极值与最值

3.1极值判别

3.2最大值与最小值

4.函数的凸性与拐点

基本要求:

了解微分中值定理;会运用洛必达法则求极限;会求函数的单调区间、极值和最值;了解如何判定函数的凹凸性及拐点。

第八章不定积分

考试内容:

1.不定积分的概念与基本积分公式

1.1原函数与不定积分1.2基本积分表

2.换元积分法与分部积分法

2.1换元积分法

2.2分部积分法

3.有理函数和可化为有理函数的不定积分

3.1有理函数的不定积分3.2三角函数有理式的不定积分

3.3某些简单无理函数的不定积分

基本要求:

理解原函数与不定积分的概念;熟练运用基本积分公式:熟练掌握换元积分法、分部积分法;掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的不定积分。

第九章定积分

考试内容:

1.定积分的概念

2.牛顿-莱布尼茨公式

3.可积条件

4.定积分的性质

4.1定积分的基本性质

4.2积分中值定量

5.微积分基本定理和定积分的计算。

5.1变限积分与原函数的存在性5.2换元积分法与分部积分法

基本要求:

掌握定积分的定义、性质和可积条件;会用定义进行一些定积分的计算;熟练掌握微积分基本定理;熟练掌握换元积分法与分部积分法计算定积分。

第十章定积分的应用

考试内容:

1.平面图形的面积

2.由截面面积求体积

3.平面曲线的弧长与曲率

3.1平面曲线的弧长

3.2平面曲线的曲率

4.旋转曲面的面积

4.1微元法

4.2旋转曲面的面积

基本要求:

会计算各种平面图形面积:会由截面面积求立体体积和旋转体的体积:会利用定积分求平面曲线的弧长与曲率和旋转体的侧面积。